شاززز

سلام بر همه گی

اول راه سوال دیشب

برهانه خلف بگیرید که تعداده اندیس هایی مثل k که a_k>k متناهی باشد حال بزرگ ترین اندیسی رو که خاصیت قبل رو داره رو k بنامید بعد فرض کنید بزرگ ترین عدد بین k عضو اول دنباله y باشد حال اگر y عضو اول دنباله رو در نظر بگیرید همهی انها از y کمترمساوی هستند چون k عوض اول که تبق تعریفه y از y کمتر مساوی هستن باقی هم چون از اندیسشان کوچکترند از y کمترند

و همچنین همهی انها از ۱ بزرگترند یعنی بین ۲ و  y هستند (y-1 حالت) و چون y تا هستند پس طبق اصل لانه کبوتری ۲ تا از انها با هم برابرند و این با فرض متمایز بودن انها تناقض دارد پس برهان خلف رد میشود و مسعله ثابت میشود🥳

و اما سوال شب ۵

دور میز گردی ‎25‎ نفر نشسته اند.هر کدام از آنها دو کارت در دست دارند. روی هر کارت یکی از عدد های ‎1‎ تا ‎25‎ نوشته شده است(هر عدد روی ۲ کارت نوشته شده) . در هر لحظه با علامت داور هر نفر از دو کارت خود ، کارتی را که عدد آن کوچکتر است را به نفر سمت راست خود میدهد .ثابت کنید لحظه ای وجود دارد که یک نفر دو کارت هم شماره داشته باشد​.

نویسنده : ارشیا سلطانی

سلام ملت.

میریم واسه سوال شب 4.

اول راه سوال شب 3 رو میگم. کسایی که میخوان اسپویل نشه این قسمتو اسکیپ کنن :8

اول ثابت میکنیم اعداد هر سطری از جدول رو اگه روی محور اعداد ضربدر بزنیم به جاشون، یه بازه تشکیل میشه (در واقع یعنی همه اعداد بین مینیمم سطر و ماکسیمم سطر هم توی سطر اومده)

اثبات این قسمتش اینجوریه که شما مینیمم رو بگیر بذار x، ماکسیمم رو بگیر بذار y، بعد حالا یه x و یه y رو بگیر، بین این دوتا همه اعداد بازه [x , y] اومدن؛ چرا، چون ما از عدد x با یه دونه یه دونه حرکت کردن رسیدیم به y، پس اولین عددی که نیومده این بینو اگه بگیریم مثل z، میبینیم که یهو از z-1 پریدیم به یه عدد غیر از z که تناقضه. پس این ثابت شد. حالا بازه سطر i رو [Li , Ri] بذارید. حالا دوتا حالت داره :

1. اشتراک [Li , Ri] ها ناتهی باشه. در این صورت اگه اشتراکشون عدد x رو داشته باشه، عدد x تو همه سطرا اومده و ما بردیم.

2. اشتراکشون تهی باشه. یعنی دوتا سطر هستن که بازه هاشون مجزا عه. فرض کنید بازه هاشون [L , R] و [X , Y] باشه که X>R. حالا از سطر [L , R] شروع به حرکت میکنیم تا به سطر [X , Y] برسیم. تو هر مرحله هر عدد از سطر [L , R] مثبت منفی 1 میشن و در آخر هر عدد بین [X , Y] عه. در اینصورت، همه اعداد بازه از X رد شدن، پس یعنی در هر ستون حداقل یه X داریم. پس بازم بردیم.

پس در کل عم میبریم.

حالا سوال شب 4 :

یه دنباله نامتناهی از اعداد متمایز و صحیح A داریم که Ai>1. ثابت کنید نامتناهی جایگاه مانند k وجود داره که Ak>k باشه.

نویسنده : امید آزادی

سلام ! دونقطه دی

مثل دیروز اول راه شب گذشته رو می گیم ( اگر به سوال به مقدار کافی فکر نکردین، نخونین که براتون لوث نشه !=) ) :

اول از همه, اگر دو تا زیر مجموعه ی متمایز پیدا بشه که در شرایط سوال صدق کنه, دو زیرمجموعه ی مجزا هم پیدا میشه. کافیه اشتراکشون رو از هر دو حذف کنیم.

حالا در کل 2^M زیرمجموعه داریم. هر کدوم از زیرمجموعه ها مثل S رو متناظر با یک n+1 تایی مرتب (a₀, a₁ , ... , a_n) می کنیم, که a_i برابر sigma (S_j) ⁱ هست.

a_i حداقل 0 و حداکثر M * M ⁱ = M ^{i + 1} هست, پس حداکثر M ^{i + 1} + 1 <= M ^{n + 2} حالت دارد ( M > 1 ). در نتیجه تعداد n + 1 تایی های معتبر از M ^{n*n + 3*n + 2} بیستر نیست.

پس کافیه 2^M > M ^{n*n + 3*n + 2} تا طبق اصل لانه کبوتری 2 تا زیرمجموعه درست پیدا بشن. تابع 2^M نمایی هست ولی تابع M ^{n*n + 3*n + 2} چندجمله ای, پس پیدا می شه M که نا مساوی گفته شده برقرار بشه !

خب , بالاخره می رسیم به سوال امشب دونقطه دی :

خانه های یک جدول مربعی n _x n رو با اعداد صحیح پر کرده ایم , به طوری که اختلاف عدد هر دو خانه ی مجاور ضلعی , از 1 بیشتر نشود.

الف ) اثبات کنین عددی وحود داره که حداقل کف n/2 بار در جدول ظاهر شده.

ب ) اثبات کنین عددی وحود داره که حداقل n بار در جدول ظاهر شده.

نویسنده: مهرشاد =) (راه سوال دیشب هم از میکائیل )

خب خب خب :))

سلام بچه ها :8

از این به بعد قرار گذاشتیم هر شب یه سوال تحت عنوان "سوال شب" بدیم بهتون. درجه سختی سوالا اولا کمتره و به مرور زمان اگه درخواست بدید بیشتر میشه. ترجیحن زیر پست عم راه و اسپویلر ننویسید که واسه بقیه اسپویل نشه. اول سوال شب بعدی عم راه قبلیو میگیم که اگه خواستید برید ببینید از اونجا. طبیعتن اگه استقبال کنید ماعم خوشال میشیم و فعال تر میشیم 6__9

خب سوال اول از این قراره :

یه زمین دایره ای شکل داریم که محیطش 1 متره. روی محیط زمین n تا پمپ بنزین هستن که با اعداد 1 تا n شماره گذاریشون کردیم. توی آی امین پمپ بنزین Xi لیتر بنزین وجود داره. Xi>=0 هستن و جمع Xi ها هم 1 میشه. حالا ما یه ماشین داریم که باکش اول کار خالیه و برای L متر جابجا شدن به L لیتر بنزین نیاز داره. ثابت کنید پمپ بنزینی وجود داره که بتونیم از اونجا در یک جهت خاص شروع به حرکت کنیم و کل محیط دایره رو دور بزنیم و به سر جای اولمون برگردیم.

نویسنده : امید آزادی